The five-quotient diagram and the 3×3 lemma
2-cellsσ,f,τSX×XSetY×SYSX×proj⇉SX×compσ,fσ,fτSX×XSetYSX×t→σ,[fSY]SX×(XSetY/SY)proj×SY⇊comp×SYproj⇊compproj⇊actionf,τ;σf,τXSetY×SYproj⇉compproj(SX×proj)proj(SX×comp)proj(proj×SY)proj(proj×SY)compfτ→fτσ↓σ↓XSetYσ(fτ)(SX×comp)comp‖σf→τ(σf)τ=σfτ(SX×proj)comp(comp×SY)compcomp(comp×SY)projt→[fSY],σ[fSY]=[σfSY]XSetY/SY↓s↓×SYs↓↘rSX[fSY]SX∖(XSetY/SY)≀‖[SXf],τ(SX∖XSetY)×SYproj⇉action[SXf][SXf]τ=[SXfτ]SX∖XSetY→[SXf]SY(SX∖XSetY)/SY≅[SXfSY]SX∖XSetY/SY2-cellsσ,f,τSX×XSetY×SY | SX×proj⇉SX×comp |
v-1-cellsσ,fσ,fτSX×XSetY |
SX×t→ |
σ,[fSY]SX×(XSetY/SY) |
||
proj×SY⇊comp×SY | proj⇊comp | proj⇊action | ||||
h-1-cellsf,τ;σf,τXSetY×SY |
proj⇉comp |
0-cellsproj(SX×proj)proj(SX×comp)proj(proj×SY)proj(proj×SY)compfτ→fτσ↓σ↓XSetYσ(fτ)(SX×comp)comp‖σf→τ(σf)τ=σfτ(SX×proj)comp(comp×SY)compcomp(comp×SY)proj | t→ |
[fSY],σ[fSY]=[σfSY]XSetY/SY |
||
↓ | ||||||
s↓×SY | s↓ | ↘r | SX[fSY]SX∖(XSetY/SY) |
|||
≀‖ | ||||||
[SXf],τ(SX∖XSetY)×SY |
proj⇉action |
[SXf][SXf]τ=[SXfτ]SX∖XSetY |
→ |
[SXf]SY(SX∖XSetY)/SY |
≅ | [SXfSY]SX∖XSetY/SY |
No comments:
Post a Comment